Przekątna prostokąta to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki. W praktyce pojawia się w zadaniach szkolnych i w życiu codziennym (np. przy doborze przekątnej ekranu, sprawdzaniu „na skos” wymiarów mebla, wyznaczaniu najkrótszej drogi po prostokątnej powierzchni). Poniżej nauczysz się krok po kroku, jak ją obliczyć z prostego wzoru oraz jak rozwiązywać typowe zadania.
Czym jest przekątna w prostokącie?
Prostokąt ma boki o długościach \(a\) i \(b\). Przekątna (oznaczmy ją \(d\)) dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. W takim trójkącie przyprostokątnymi są boki \(a\) i \(b\), a przeciwprostokątną jest przekątna \(d\).
Rysunek: przekątna \(d\) jako przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a\) i \(b\).
Najważniejszy wzór: twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym zachodzi twierdzenie Pitagorasa:
\[
a^2+b^2=d^2
\]
Stąd wzór na przekątną prostokąta:
\[
d=\sqrt{a^2+b^2}
\]
Jak obliczyć przekątną prostokąta krok po kroku?
-
Zapisz długości boków prostokąta: \(a\) i \(b\).
-
Podnieś je do kwadratu: policz \(a^2\) i \(b^2\).
-
Dodaj wyniki: \(a^2+b^2\).
-
Wyciągnij pierwiastek: \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).
Ważne: boki \(a\) i \(b\) muszą być w tych samych jednostkach (np. oba w cm). Wtedy przekątna \(d\) też wyjdzie w tych jednostkach.
Przykłady obliczeń (od najprostszych)
Przykład 1: prostokąt \(3\) cm na \(4\) cm
\[
d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}
\]
To klasyczny trójkąt \(3\!-\!4\!-\!5\).
Przykład 2: prostokąt \(5\) m na \(12\) m
\[
d=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \text{m}
\]
Przykład 3: wynik z pierwiastkiem (nie zawsze wychodzi liczba całkowita)
Dla \(a=6\) cm i \(b=7\) cm:
\[
d=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}\approx 9{,}22\ \text{cm}
\]
W praktyce często zaokrągla się do sensownej dokładności (np. do 2 miejsc po przecinku).
Tabela: szybkie porównanie kilku prostokątów
| Bok \(a\) | Bok \(b\) | Wzór | Przekątna \(d\) |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | \(\sqrt{3^2+4^2}\) | 5 |
| 5 | 12 | \(\sqrt{5^2+12^2}\) | 13 |
| 6 | 7 | \(\sqrt{6^2+7^2}\) | \(\sqrt{85}\approx 9{,}22\) |
Gdy znasz przekątną i jeden bok: jak obliczyć drugi bok?
Czasem zadanie jest „odwrotne”: znasz przekątną \(d\) i bok \(a\), a masz znaleźć bok \(b\). Startujesz od:
\[
a^2+b^2=d^2
\]
Przekształcasz do postaci:
\[
b=\sqrt{d^2-a^2}
\]
Przykład 4: \(d=10\) cm, \(a=6\) cm
\[
b=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{cm}
\]
Najczęstsze błędy i jak ich uniknąć
-
Mieszanie jednostek (np. \(a\) w cm, \(b\) w m). Najpierw sprowadź wszystko do jednej jednostki.
-
Zapominanie o pierwiastku: z \(a^2+b^2=d^2\) wynika \(d=\sqrt{a^2+b^2}\), a nie \(d=a^2+b^2\).
-
Złe zaokrąglenia: jeśli wychodzi \(\sqrt{85}\), to przybliżenie \(9{,}22\) jest OK, ale warto dopisać, że to przybliżenie.
Kalkulator przekątnej prostokąta (JavaScript)
Poniżej możesz szybko policzyć przekątną \(d\) dla danych boków \(a\) i \(b\) albo obliczyć brakujący bok, gdy znasz przekątną i drugi bok.
Wskazówka: uzupełnij tylko te pola, które są potrzebne do danego obliczenia.
Podsumowanie: najważniejsze wzory
-
Przekątna prostokąta o bokach \(a\) i \(b\): \(\displaystyle d=\sqrt{a^2+b^2}\)
-
Brakujący bok, gdy znasz przekątną: \(\displaystyle a=\sqrt{d^2-b^2}\), \(\displaystyle b=\sqrt{d^2-a^2}\)
Jeśli potrafisz rozpoznać w prostokącie trójkąt prostokątny, to obliczanie przekątnej sprowadza się zawsze do jednego, pewnego narzędzia: twierdzenia Pitagorasa.