Twierdzenie sinusów i cosinusów to potężne narzędzia matematyczne, które pozwalają na rozwiązywanie dowolnych trójkątów, gdy znamy tylko niektóre ich elementy. W przeciwieństwie do trójkątów prostokątnych, gdzie wystarczy funkcja sinus, cosinus i tangens, w przypadku trójkątów o dowolnych kątach potrzebujemy bardziej zaawansowanych metod. W tym artykule omówimy oba twierdzenia, ich zastosowania oraz pokażemy, jak efektywnie rozwiązywać trójkąty w praktyce.
Twierdzenie sinusów – definicja i wyprowadzenie
Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwległego do tego boku jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
Formalnie, dla trójkąta o bokach \(a\), \(b\), \(c\) i przeciwległych kątach \(A\), \(B\), \(C\), twierdzenie sinusów można zapisać jako:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]
gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie.
Aby lepiej zrozumieć to twierdzenie, spójrzmy na poniższy rysunek trójkąta z zaznaczonymi elementami:
Dowód twierdzenia sinusów
Rozważmy trójkąt ABC. Pole tego trójkąta można wyrazić na kilka sposobów:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\]
gdzie \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) to wysokości opuszczone odpowiednio na boki \(a\), \(b\), \(c\).
Wiemy również, że:
\[h_a = b \cdot \sin C = c \cdot \sin B\]
\[h_b = a \cdot \sin C = c \cdot \sin A\]
\[h_c = a \cdot \sin B = b \cdot \sin A\]
Podstawiając te wyrażenia do wzoru na pole, otrzymujemy:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A\]
Z tych równości wynika, że:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
Co dowodzi pierwszej części twierdzenia. Aby pokazać, że ta wspólna wartość równa się \(2R\), można wykorzystać fakt, że pole trójkąta można wyrazić również jako:
\[P = \frac{1}{4} \cdot abc \cdot \frac{1}{R}\]
Porównując z wcześniejszymi wzorami na pole, otrzymujemy ostatecznie:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]
Zastosowania twierdzenia sinusów
Twierdzenie sinusów jest szczególnie przydatne w następujących przypadkach:
- Znamy dwa kąty i jeden bok trójkąta (przypadek KKB)
- Znamy dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z nich (przypadek BBK)
Przykład 1: Przypadek KKB
Dane są: kąt \(A = 40°\), kąt \(B = 60°\) i bok \(a = 10\) cm. Obliczmy pozostałe elementy trójkąta.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy kąt \(C\):
\[C = 180° – A – B = 180° – 40° – 60° = 80°\]
Następnie, korzystając z twierdzenia sinusów, obliczamy boki \(b\) i \(c\):
\[\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \Rightarrow b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 60°}{\sin 40°} \approx 13.21 \text{ cm}\]
\[\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \Rightarrow c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 80°}{\sin 40°} \approx 15.32 \text{ cm}\]
Przykład 2: Przypadek BBK
Dane są: boki \(a = 8\) cm, \(b = 12\) cm i kąt \(A = 30°\). Obliczmy pozostałe elementy trójkąta.
Rozwiązanie:
Korzystając z twierdzenia sinusów, obliczamy kąt \(B\):
\[\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{12 \cdot \sin 30°}{8} = \frac{12 \cdot 0.5}{8} = 0.75\]
Stąd \(B = \arcsin(0.75) \approx 48.59°\)
Następnie obliczamy kąt \(C\):
\[C = 180° – A – B = 180° – 30° – 48.59° \approx 101.41°\]
I na koniec bok \(c\):
\[\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \Rightarrow c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 101.41°}{\sin 30°} \approx 19.31 \text{ cm}\]
Warto zauważyć, że w przypadku BBK mogą wystąpić dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub brak rozwiązania, w zależności od wartości \(\sin B\). Jeśli \(\sin B > 1\), to trójkąt nie istnieje. Jeśli \(\sin B = 1\), to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli \(\sin B < 1\), to mogą istnieć dwa różne trójkąty spełniające warunki zadania.
Twierdzenie cosinusów – definicja i wyprowadzenie
Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa dla dowolnych trójkątów. Mówi ono, że kwadrat długości boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków minus dwukrotny iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi.
Formalnie, dla trójkąta o bokach \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(A\), \(B\), \(C\) (gdzie kąt \(A\) leży naprzeciw boku \(a\), itd.), twierdzenie cosinusów można zapisać jako:
\[a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A\]
\[b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B\]
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C\]
Dowód twierdzenia cosinusów
Rozważmy trójkąt ABC i wprowadźmy układ współrzędnych tak, aby wierzchołek C znajdował się w początku układu, a bok \(b\) leżał na dodatniej półosi \(x\).
Wtedy współrzędne wierzchołków wynoszą:
C = (0, 0)
A = (b, 0)
B = (c·cos A, c·sin A)
Długość boku \(a\) (przeciwległego do kąta \(A\)) można obliczyć jako odległość między punktami B i A:
\[a^2 = (c\cos A – b)^2 + (c\sin A – 0)^2\]
\[a^2 = c^2\cos^2 A – 2bc\cos A + b^2 + c^2\sin^2 A\]
\[a^2 = c^2(\cos^2 A + \sin^2 A) + b^2 – 2bc\cos A\]
\[a^2 = c^2 + b^2 – 2bc\cos A\]
Co dowodzi pierwszej formuły twierdzenia cosinusów. Pozostałe można udowodnić analogicznie.
Zastosowania twierdzenia cosinusów
Twierdzenie cosinusów jest szczególnie przydatne w następujących przypadkach:
- Znamy trzy boki trójkąta (przypadek BBB)
- Znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi (przypadek BKB)
Przykład 3: Przypadek BBB
Dane są boki trójkąta: \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm, \(c = 9\) cm. Obliczmy miary kątów trójkąta.
Rozwiązanie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczamy cosinus każdego kąta:
\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 9^2 – 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 – 25}{126} = \frac{105}{126} \approx 0.8333\]
Stąd \(A = \arccos(0.8333) \approx 33.56°\)
\[\cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 9^2 – 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{25 + 81 – 49}{90} = \frac{57}{90} \approx 0.6333\]
Stąd \(B = \arccos(0.6333) \approx 50.65°\)
\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 7^2 – 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 – 81}{70} = \frac{-7}{70} \approx -0.1\]
Stąd \(C = \arccos(-0.1) \approx 95.74°\)
Sprawdźmy: \(A + B + C = 33.56° + 50.65° + 95.74° \approx 180°\), co potwierdza poprawność naszych obliczeń.
Przykład 4: Przypadek BKB
Dane są: boki \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm i kąt \(C = 60°\) (zawarty między bokami \(a\) i \(b\)). Obliczmy długość trzeciego boku i pozostałe kąty.
Rozwiązanie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczamy długość boku \(c\):
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C = 6^2 + 8^2 – 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 36 + 64 – 96 \cdot 0.5 = 100 – 48 = 52\]
Stąd \(c = \sqrt{52} \approx 7.21\) cm
Następnie, korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczamy kąty \(A\) i \(B\):
\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 7.21^2 – 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 7.21} = \frac{64 + 52 – 36}{115.36} \approx 0.6932\]
Stąd \(A = \arccos(0.6932) \approx 46.03°\)
\[\cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 7.21^2 – 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7.21} = \frac{36 + 52 – 64}{86.52} \approx 0.2774\]
Stąd \(B = \arccos(0.2774) \approx 73.91°\)
Sprawdźmy: \(A + B + C = 46.03° + 73.91° + 60° \approx 180°\), co potwierdza poprawność naszych obliczeń.
Strategia rozwiązywania trójkątów
Aby efektywnie rozwiązywać trójkąty, warto stosować następującą strategię:
- Identyfikacja przypadku – określ, które elementy trójkąta są znane:
- KKB (dwa kąty i jeden bok) – użyj twierdzenia sinusów
- BBK (dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z nich) – użyj twierdzenia sinusów, ale bądź ostrożny, bo mogą wystąpić dwa rozwiązania
- BBB (trzy boki) – użyj twierdzenia cosinusów do obliczenia kątów
- BKB (dwa boki i kąt zawarty między nimi) – użyj twierdzenia cosinusów
- Sprawdzenie warunków istnienia trójkąta:
- Suma kątów musi wynosić 180°
- Każdy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych boków
- W przypadku BBK, jeśli \(\sin B > 1\), trójkąt nie istnieje
- Obliczenie brakujących elementów – w zależności od przypadku, użyj odpowiedniego twierdzenia
- Weryfikacja – sprawdź, czy obliczone elementy spełniają warunki trójkąta
Porównanie twierdzenia sinusów i cosinusów
| Twierdzenie | Wzór | Zastosowanie | Uwagi |
|---|---|---|---|
| Twierdzenie sinusów | \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) | KKB, BBK | W przypadku BBK może dać dwa rozwiązania |
| Twierdzenie cosinusów | \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A\) | BBB, BKB | Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa |
Praktyczne zastosowania
Twierdzenie sinusów i cosinusów ma liczne zastosowania praktyczne:
- Geodezja i kartografia – pomiary odległości i kątów w terenie
- Nawigacja – określanie pozycji i wyznaczanie tras
- Astronomia – obliczanie odległości między ciałami niebieskimi
- Inżynieria – projektowanie konstrukcji i maszyn
- Fizyka – analiza sił i wektorów
Kalkulator do rozwiązywania trójkątów
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci rozwiązać dowolny trójkąt na podstawie podanych elementów:
Kalkulator do rozwiązywania trójkątów
Wybierz przypadek:
Kąt A (°):
Kąt B (°):
Bok a: