Matura z matematyki to jeden z najważniejszych egzaminów w życiu każdego polskiego ucznia. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy arkusz matury z matematyki z czerwca 2015 roku, przedstawiając rozwiązania zadań wraz z objaśnieniami. Artykuł będzie pomocny zarówno dla uczniów przygotowujących się do matury, jak i dla nauczycieli szukających materiałów dydaktycznych.
Charakterystyka arkusza maturalnego z czerwca 2015
Arkusz matury z matematyki z czerwca 2015 roku zawierał standardowy zestaw zadań podzielonych na dwie części:
- Zadania zamknięte (1-25) – zadania jednokrotnego wyboru, za które można było uzyskać łącznie 25 punktów
- Zadania otwarte (26-34) – zadania wymagające przedstawienia pełnego rozwiązania, za które można było uzyskać łącznie 25 punktów
Łącznie za cały arkusz można było uzyskać 50 punktów. Próg zdawalności wynosił 30%, czyli 15 punktów.
Analiza wybranych zadań zamkniętych
Zadanie 1: Działania na potęgach
W zadaniu należało obliczyć wartość wyrażenia: \(\frac{3^{-2} \cdot 9^3}{27^2}\)
Rozwiązanie:
Korzystamy z własności potęg, aby przekształcić wyrażenie do prostszej postaci:
\(\frac{3^{-2} \cdot 9^3}{27^2} = \frac{3^{-2} \cdot (3^2)^3}{(3^3)^2} = \frac{3^{-2} \cdot 3^6}{3^6} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)
Odpowiedź: \(\frac{1}{9}\)
Zadanie 2: Równanie z wartością bezwzględną
W zadaniu należało rozwiązać równanie: \(|2x-3| = 5\)
Rozwiązanie:
Równanie z wartością bezwzględną rozwiązujemy, rozważając dwa przypadki:
Przypadek 1: \(2x-3 \geq 0\), czyli \(x \geq \frac{3}{2}\)
Wtedy \(2x-3 = 5\), stąd \(2x = 8\), czyli \(x = 4\)
Przypadek 2: \(2x-3 < 0\), czyli \(x < \frac{3}{2}\)
Wtedy \(-(2x-3) = 5\), stąd \(-2x+3 = 5\), czyli \(-2x = 2\), co daje \(x = -1\)
Sprawdzamy, czy rozwiązania spełniają założone warunki:
\(x = 4\): \(4 \geq \frac{3}{2}\) – warunek spełniony
\(x = -1\): \(-1 < \frac{3}{2}\) - warunek spełniony
Odpowiedź: \(x \in \{-1, 4\}\)
Zadanie 3: Funkcja kwadratowa
W zadaniu należało znaleźć miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).
Rozwiązanie:
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej znajdujemy, rozwiązując równanie \(f(x) = 0\):
\(x^2 – 4x + 3 = 0\)
Korzystamy ze wzorów Viète’a lub wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Możemy też rozłożyć wielomian na czynniki:
\(x^2 – 4x + 3 = (x-3)(x-1) = 0\)
Stąd \(x = 3\) lub \(x = 1\)
Odpowiedź: \(x \in \{1, 3\}\)
Analiza wybranych zadań otwartych
Zadanie 26: Ciąg geometryczny
W zadaniu dany był ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = 4\) i \(a_4 = 108\). Należało obliczyć iloraz ciągu oraz wyraz \(a_7\).
Rozwiązanie:
W ciągu geometrycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest iloczynem wyrazu poprzedniego i stałej wartości \(q\) zwanej ilorazem ciągu:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
Zatem:
\(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3\)
Podstawiając dane z zadania:
\(108 = 4 \cdot q^3\)
\(q^3 = \frac{108}{4} = 27\)
\(q = \sqrt[3]{27} = 3\)
Mając iloraz ciągu, obliczamy \(a_7\):
\(a_7 = a_1 \cdot q^{7-1} = 4 \cdot 3^6 = 4 \cdot 729 = 2916\)
Odpowiedź: Iloraz ciągu \(q = 3\), wyraz \(a_7 = 2916\)
Zadanie 27: Funkcja wykładnicza
W zadaniu należało rozwiązać nierówność \(2^{x+3} > 8^{x-1}\).
Rozwiązanie:
Przekształcamy nierówność, korzystając z własności potęg:
\(2^{x+3} > 8^{x-1}\)
\(2^{x+3} > (2^3)^{x-1}\)
\(2^{x+3} > 2^{3(x-1)}\)
\(2^{x+3} > 2^{3x-3}\)
Ponieważ funkcja wykładnicza jest rosnąca, nierówność \(2^{x+3} > 2^{3x-3}\) jest równoważna nierówności między wykładnikami:
\(x+3 > 3x-3\)
\(6 > 2x\)
\(x < 3\)
Odpowiedź: \(x < 3\)
Zadanie 28: Zadanie optymalizacyjne
W zadaniu należało znaleźć największą objętość prostopadłościanu o polu powierzchni całkowitej równym 600 cm².
Rozwiązanie:
Oznaczmy wymiary prostopadłościanu jako \(a\), \(b\) i \(c\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi:
\(P = 2(ab + bc + ac) = 600\)
Objętość prostopadłościanu to:
\(V = abc\)
Z twierdzenia o nierówności średnich wiemy, że dla danych liczb nieujemnych iloczyn jest największy, gdy liczby są równe. W naszym przypadku oznacza to, że objętość będzie największa, gdy prostopadłościan jest sześcianem, czyli \(a = b = c\).
Podstawiając do wzoru na pole powierzchni:
\(2(a^2 + a^2 + a^2) = 600\)
\(6a^2 = 600\)
\(a^2 = 100\)
\(a = 10\) (bo wymiar musi być dodatni)
Obliczamy objętość:
\(V = a^3 = 10^3 = 1000\) cm³
Odpowiedź: Największa objętość wynosi 1000 cm³.
Zadanie 29: Zadanie z trygonometrii
W zadaniu należało obliczyć wartość wyrażenia \(\sin(\alpha + \beta)\), gdzie \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) dla \(\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})\) oraz \(\cos\beta = \frac{5}{13}\) dla \(\beta \in (0, \frac{\pi}{2})\).
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
Znamy \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) i \(\cos\beta = \frac{5}{13}\), ale potrzebujemy jeszcze \(\cos\alpha\) i \(\sin\beta\).
Dla kąta \(\alpha\) z przedziału \((0, \frac{\pi}{2})\), mamy:
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
\((\frac{3}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1\)
\(\frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1\)
\(\cos^2\alpha = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
\(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) (bo w pierwszej ćwiartce kosinus jest dodatni)
Podobnie dla kąta \(\beta\) z przedziału \((0, \frac{\pi}{2})\):
\(\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1\)
\(\sin^2\beta + (\frac{5}{13})^2 = 1\)
\(\sin^2\beta + \frac{25}{169} = 1\)
\(\sin^2\beta = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\)
\(\sin\beta = \frac{12}{13}\) (bo w pierwszej ćwiartce sinus jest dodatni)
Teraz możemy obliczyć \(\sin(\alpha + \beta)\):
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}\)
Odpowiedź: \(\sin(\alpha + \beta) = \frac{63}{65}\)
Kalkulator do rozwiązywania równań kwadratowych
Poniższy kalkulator pomoże Ci rozwiązać równania kwadratowe podobne do tych, które pojawiają się na maturze:
Kalkulator równań kwadratowych
Wprowadź współczynniki równania \(ax^2 + bx + c = 0\):
Wykres funkcji kwadratowej
Poniżej przedstawiamy wykres funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) z zadania 3, pokazujący jej miejsca zerowe:
Podsumowanie
Matura z matematyki z czerwca 2015 roku obejmowała szeroki zakres zagadnień, od podstawowych działań na potęgach, przez funkcje kwadratowe, aż po zadania z geometrii i trygonometrii. Kluczem do sukcesu w rozwiązywaniu zadań maturalnych jest systematyczna praca i zrozumienie podstawowych koncepcji matematycznych.
Warto zauważyć, że zadania na maturze często wymagają łączenia wiedzy z różnych działów matematyki. Dlatego ważne jest, aby podczas przygotowań do matury nie tylko ćwiczyć rozwiązywanie poszczególnych typów zadań, ale także rozwijać umiejętność analizy problemu i wyboru odpowiedniej metody rozwiązania.
Mamy nadzieję, że powyższa analiza pomoże Ci lepiej zrozumieć zagadnienia, które pojawiły się na maturze z matematyki w czerwcu 2015 roku, a także przygotować się do podobnych zadań na przyszłych egzaminach.