Funkcje trygonometryczne – wprowadzenie
Funkcje trygonometryczne to jedne z najważniejszych narzędzi matematycznych, które pojawiają się regularnie na egzaminach maturalnych. Zrozumienie ich właściwości oraz umiejętność rozwiązywania zadań z ich wykorzystaniem jest kluczowa dla każdego maturzysty. W tym artykule omówimy najważniejsze zagadnienia związane z funkcjami trygonometrycznymi, przedstawimy typowe zadania maturalne oraz pokażemy krok po kroku, jak je rozwiązywać.
Podstawowe funkcje trygonometryczne
Zacznijmy od przypomnienia definicji podstawowych funkcji trygonometrycznych. Na maturze najczęściej spotykamy się z sześcioma funkcjami trygonometrycznymi:
- sinus (sin)
- cosinus (cos)
- tangens (tg lub tan)
- cotangens (ctg lub cot)
- secans (sec)
- cosecans (cosec lub csc)
Najważniejsze z nich to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym możemy je zdefiniować następująco:
\[ \sin \alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{hipotenuza}} \]
\[ \cos \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{hipotenuza}} \]
\[ \tg \alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyległa}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
\[ \ctg \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tg \alpha} \]
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych
Na maturze często trzeba znać wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów. Oto najważniejsze z nich:
| Kąt α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
| cos α | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 |
| tg α | 0 | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | nie istnieje |
| ctg α | nie istnieje | \(\sqrt{3}\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 0 |
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Znajomość wykresów funkcji trygonometrycznych jest niezbędna do rozwiązywania wielu zadań maturalnych. Poniżej przedstawiamy wykresy podstawowych funkcji trygonometrycznych:
Wykres funkcji y = sin(x)
Wykres funkcji y = cos(x)
Wykres funkcji y = tg(x)
Wykres funkcji y = ctg(x)
Najważniejsze tożsamości trygonometryczne
Poniżej przedstawiamy najważniejsze tożsamości trygonometryczne, które często są wykorzystywane w zadaniach maturalnych:
Podstawowe tożsamości
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
\[ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tg \alpha} \]
Tożsamości dla sumy i różnicy kątów
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
\[ \sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \]
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \]
\[ \cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]
\[ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 – \tg \alpha \tg \beta} \]
\[ \tg(\alpha – \beta) = \frac{\tg \alpha – \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} \]
Tożsamości dla podwojonego kąta
\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 = 1 – 2\sin^2 \alpha \]
\[ \tg 2\alpha = \frac{2\tg \alpha}{1 – \tg^2 \alpha} \]
Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego:
\[ \sin(90° – \alpha) = \cos \alpha \]
\[ \cos(90° – \alpha) = \sin \alpha \]
\[ \sin(180° – \alpha) = \sin \alpha \]
\[ \cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha \]
\[ \sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha \]
\[ \cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha \]
\[ \sin(360° – \alpha) = -\sin \alpha \]
\[ \cos(360° – \alpha) = \cos \alpha \]
Zadania maturalne z funkcji trygonometrycznych
Przejdźmy teraz do praktycznych przykładów zadań maturalnych z funkcji trygonometrycznych. Rozwiążemy kilka typowych zadań krok po kroku.
Zadanie 1: Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych
Treść zadania: Oblicz wartość wyrażenia \( \sin 60° \cdot \cos 30° + \cos 60° \cdot \sin 30° \).
Rozwiązanie:
Zauważmy, że mamy do czynienia z wzorem na sinus sumy kątów:
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
Podstawiając \(\alpha = 60°\) i \(\beta = 30°\), otrzymujemy:
\[ \sin 60° \cdot \cos 30° + \cos 60° \cdot \sin 30° = \sin(60° + 30°) = \sin 90° = 1 \]
Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.
Zadanie 2: Równania trygonometryczne
Treść zadania: Rozwiąż równanie \( 2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0 \) dla \( x \in [0, 2\pi) \).
Rozwiązanie:
Wprowadźmy podstawienie \(t = \sin x\). Wówczas nasze równanie przyjmuje postać:
\[ 2t^2 – t – 1 = 0 \]
Rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
\[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \]
\[ t_2 = \frac{1 – 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
Mamy więc \(\sin x = 1\) lub \(\sin x = -\frac{1}{2}\).
Dla \(\sin x = 1\) otrzymujemy \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. W przedziale \([0, 2\pi)\) mamy tylko \(x = \frac{\pi}{2}\).
Dla \(\sin x = -\frac{1}{2}\) otrzymujemy \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\) lub \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\). W przedziale \([0, 2\pi)\) mamy \(x = \frac{7\pi}{6}\) i \(x = \frac{11\pi}{6}\).
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są \(x = \frac{\pi}{2}\), \(x = \frac{7\pi}{6}\) i \(x = \frac{11\pi}{6}\).
Zadanie 3: Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości funkcji trygonometrycznej
Treść zadania: Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \( f(x) = 2\sin x + 3 \).
Rozwiązanie:
Funkcja sinus jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc dziedzina funkcji \(f\) to zbiór liczb rzeczywistych: \(D_f = \mathbb{R}\).
Wiemy, że \(\sin x \in [-1, 1]\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Zatem:
\[ 2\sin x \in [-2, 2] \]
\[ 2\sin x + 3 \in [1, 5] \]
Zbiór wartości funkcji \(f\) to przedział \([1, 5]\).
Odpowiedź: Dziedzina funkcji to \(\mathbb{R}\), a zbiór wartości to przedział \([1, 5]\).
Zadanie 4: Tożsamości trygonometryczne
Treść zadania: Udowodnij tożsamość \( \sin^4 x – \cos^4 x = \sin^2 x – \cos^2 x \).
Rozwiązanie:
Przekształćmy lewą stronę równania:
\[ \sin^4 x – \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 – (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x – \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) \]
Wiemy, że \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), więc:
\[ (\sin^2 x – \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (\sin^2 x – \cos^2 x) \cdot 1 = \sin^2 x – \cos^2 x \]
Co kończy dowód.
Zadanie 5: Zadanie z trójkątem
Treść zadania: W trójkącie ABC dane są: bok AC = 10, kąt przy wierzchołku A równy 30° oraz kąt przy wierzchołku C równy 45°. Oblicz długość boku AB.
Rozwiązanie:
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc kąt przy wierzchołku B wynosi:
\[ \angle B = 180° – 30° – 45° = 105° \]
Zastosujemy twierdzenie sinusów:
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]
Podstawiając dane:
\[ \frac{AB}{\sin 45°} = \frac{10}{\sin 105°} \]
\[ AB = \frac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 105°} \]
Wiemy, że \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(\sin 105° = \sin(180° – 75°) = \sin 75°\).
Możemy obliczyć \(\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°\).
\[ \sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Podstawiając:
\[ AB = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
Racjonalizując mianownik:
\[ AB = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{\sqrt{6} – \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{6 – 2} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{4} \]
\[ AB = 5\sqrt{2}(\sqrt{6} – \sqrt{2}) = 5\sqrt{12} – 5\sqrt{4} = 5\sqrt{12} – 10 \]
\[ AB = 5 \cdot 2\sqrt{3} – 10 = 10\sqrt{3} – 10 \]
Odpowiedź: Długość boku AB wynosi \(10\sqrt{3} – 10\).
Kalkulator funkcji trygonometrycznych
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla podanego kąta w stopniach lub radianach:
Kalkulator funkcji trygonometrycznych